Bombeo de una suspensión de ley de potencia

 Este ejemplo fue adaptado del libro de texto "Mecánica de Fluidos en Ingeniería Química", 2.ª ed., de Ronald Darby. Problema 6.33.

La situación

Una suspensión de carbón, caracterizada como un fluido de ley de potencia, tiene un índice de flujo de 0,4 y una viscosidad aparente de 200 cP a una velocidad de cizallamiento de 1 s. El carbón tiene una gravedad específica de 2,5 y la suspensión contiene el 50 % de carbón en peso en agua. ¿Qué potencia de bombeo se requerirá para transportar 25 millones de toneladas estadounidenses de carbón al año (365 días) a través de una tubería de 36 pulg. de diámetro interior y 1000 mi de longitud? Suponga que la entrada y la salida de la tubería tienen la misma presión y elevación, y que las bombas tienen una eficiencia del 60 %.

Un esbozo de la situación

Enfoque de la solución

Primero, se observan algunos aspectos interesantes del planteamiento de la situación: tanto la presión como la elevación son iguales en la entrada y la salida de la tubería. En otras palabras,

$P_1=P_2$    and    $z_1=z_2$        Eqs. (01)

Y como la tubería no cambia de diámetro: $V_1=V_2$. Ahora bien, si intentamos un balance de energía mecánica con la ecuación general de energía,

$\dfrac{P_1}{\gamma}+z_1-h_L+h_A+\dfrac{V_1^2}{2g}=\dfrac{P_2}{\gamma}+z_2+\dfrac{V_2^2}{2g}$        Eq. (02)

Se obtiene lo siguiente,

$h_L=h_A$        Eq. (03)

Por lo tanto, utilizando la ecuación de Darcy y la definición de $h_A$ para una bomba se deduce que,

$4\,f_{FF}\dfrac{L}{D}\dfrac{V_1^2}{2g}=\dfrac{\mathbf{e_M}PO}{\gamma\, Q}$        Eq. (04)

de la cual se puede aislar la potencia de la bomba,

$PO=4\,f_{FF}\dfrac{\gamma\, Q}{\mathbf{e_M}}\dfrac{L}{D}\dfrac{V_1^2}{2g}$        Eq. (05)

Por favor, lea la publicación: Energía mecánica añadida a un fluido - Una bomba, para más detalles sobre el lado derecho de la ecuación (04).

Solo necesitamos encontrar los datos requeridos en la ecuación (05). Para la longitud de la tubería $L$, tenemos:

$L=1000\,mi$

$L=5.28\times 10^6\, ft$

Para el diámetro interno de la tubería tenemos,

$D=36\,in$

$D=3\,ft$

Para la densidad de la pulpa, siendo este fluido una solución compuesta por agua y carbón, se aplica la siguiente fórmula,

$\rho=\dfrac{2\rho_{coal}\, \rho_{water}}{\rho_{coal}+\rho_{water}}$        Eq. (06)

Donde la densidad del carbón se puede determinar mediante su gravedad específica y la densidad del agua se puede buscar en tablas (a temperatura ambiente, por ejemplo).

Por favor, lea la publicación: La densidad de una mezcla, para más detalles sobre la ecuación (06) y un ejemplo de cálculo para la situación actual.

Por lo tanto,

$\rho=2.77\,slug/ft^3$

Para el caudal volumétrico $Q$, primero se debe determinar el caudal másico $Q_m$. Esto es como sigue:

$Q_m=\dfrac{\left(25\times 10^6\,US\,ton\right)}{365\,day}\dfrac{\left(907.19\,kg \right)}{1\,US\,ton}\dfrac{1\,slug}{14.59\,kg}\dfrac{24\,hr}{1\,day}\dfrac{3600\,s}{1\,hr}$

$Q_m=49.28\,slug/s$

De esta manera, el caudal volumétrico $Q$ se puede estimar utilizando también la densidad del fluido,

$Q=17.79\,ft^3/s$

El peso específico $\gamma$ se estima fácilmente como,

$\gamma=\left( 2.77\, slug/ft^3 \right)\left( 32.17\,ft/s^2 \right)$

$\gamma=89.11\,lb_f/ft^3$

El área de la sección transversal de la tubería se calcula de la siguiente manera:

$A=\dfrac{\pi\left( 3\,ft \right)^2}{4}$

$A=7.07\,ft^2$

La velocidad del fluido es entonces,

$V=\dfrac{17.79\,ft^3/s}{7.07\,ft^2}$

$V=2.52\,ft/s$

El parámetro de fluido $m$ se calcula de la siguiente manera,

$m=\dfrac{\eta}{\dot{\gamma}^{n-1}}$

$m=\dfrac{200\,cP}{1^{0.4-1}}\dfrac{2.09\times\,10^{-5}\,lb_F\cdot s/ft^2}{1\,cP}$

$m=4.18\times 10^{-3}\,lb_F\cdot s^{0.6}/ft^2$

Utilizando los datos anteriores, se puede estimar que el número de Reynolds para el fluido de ley de potencia es,

$N_{Re}=429.43$

Por favor, lea la publicación: Ecuaciones hidráulicas para fluidos no newtonianos, para más detalles sobre el cálculo del número de Reynolds mencionado anteriormente.

Por lo tanto, el factor de fricción para el fluido de ley de potencia, en condiciones de flujo laminar, puede estimarse fácilmente.

$f_{FF-L}=\dfrac{16}{429.43}$

$f_{FF-L}=3.73\times 10^{-2}$

La sustitución de todos los datos conocidos en la ecuación (05) produce la potencia requerida por la bomba (o bombas),

$PO=4\left( 3.73\times 10^{-2} \right)\, \dfrac{\left( 89.11\, lb_F/ft^3 \right)\left( 17.79\,ft^3/s \right)}{0.6}\dfrac{5.28\times 10^6\,ft}{3\,ft}\dfrac{\left( 2.52\,ft/s \right)^2}{2\left(32.17\,ft/s^2\right)}$

$PO=68,230,593.85\,lb_F\cdot ft/s$

$PO=92,508.26\,kW$

Todos los cálculos se realizaron en una hoja de cálculo, por lo que si usa una calculadora manual, podrían surgir discrepancias.

Finalmente, tenga cuidado al leer esta solución, ya que podrían haberse producido errores involuntarios.

¿Tienes alguna pregunta? Escríbela en los comentarios y trataré de ayudarte.

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Ildebrando.