Demostración del método Hardy-Cross

 La idea principal del método Hardy-Cross es forzar un equilibrio de pérdidas de carga h_L entre todas las tuberías que forman parte de un circuito de flujo. Sin este equilibrio, no se pueden determinar los caudales, que suelen ser desconocidos. Existen otros métodos, pero este es el más conocido.

                                                             

Esta metodología, como ya sabrá, se basa en la ecuación general del balance de energía mecánica, por lo que cada bucle de la red anterior debe descomponerse en partes más pequeñas, que son, de hecho, las secciones de tubería.

Nota: Un bucle es un circuito de flujo. En otras palabras, un bucle está formado por secciones de tubería interconectadas a través de las cuales el fluido puede circular en una dirección determinada. Por ejemplo, las secciones de tubería [1], [4], [6] y [3] forman un bucle.

Entonces, para cualquiera de las 12 secciones de tubería de la red anterior, se define una pérdida de carga particular como sigue:

$h_L^{(n)}=f_F^{(n)}\frac{L_n}{D_n}\frac{v_n^2}{2g}$        Eq. (1)

o como,

$h_L^{(n)}=f_F^{(n)}\frac{L_n}{D_n}\frac{8Q_n^2}{\pi^2 D_n^4 g}$        Eq. (2)

donde $n$ indica cualquiera de las secciones de tubería en un bucle ([1], [4], [6] o [3], por ejemplo). Además, $n$ se escribió entre paréntesis $(n)$ para evitar confusiones con potencias. Varios autores de libros de texto prefieren escribir la ecuación (2) como:

$h_L^{(n)}=K_nQ_n^2$        Eq. (3)

donde $K$ se define como,

$K_n=f_F^{(n)}\frac{L_n}{D_n}\frac{8}{\pi^2 D_n^4 g}$        Eq. (4)

A continuación, mediante la técnica Hardy-Cross, se realiza un balance de pérdidas de carga formando un bucle. En términos generales, esto se vería así:

$\sum_{n=1}^{n=m}h_L^{(n)}=0$        Eq. (5)

donde $m$ es el número total de tuberías que forman el bucle. Por ejemplo, para cada bucle de la red anterior, $m=4$.

Ahora bien, como el balance $h_L$ no es cero per se, la forma de forzarlo a cero es mediante pequeños ajustes en los caudales. Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (5) se obtiene:

$\sum_{n=1}^{n=m}K_n Q_n^2=0$        Eq. (6)

y si agrega una pequeña corrección de caudal $\Delta Q$ a cada sección de tubería, la ecuación (6) se convierte en,

$\sum_{n=1}^{n=m} K_n \left( Q_n+\Delta Q \right)^2=0$        Eq. (7)

La expansión de la ecuación (7) produce,

$\sum_{n=1}^{n=m} K_n \left[ Q_n^2+2Q_n\Delta Q+\left( \Delta Q \right)^2 \right] =0$        Eq. (8)

Dado que las correcciones de flujo $\Delta Q$ son pequeñas (menores que 1), sus potencias pueden despreciarse. Por lo tanto, la ecuación (8) se reduce a:

$\sum_{n=1}^{n=m} K_n \left[ Q_n^2 + 2Q_n \Delta Q \right] =0$        Eq. (9)

y dado que $\Delta Q$ no es particular de ninguna sección de tubería (no depende de $n$) es posible una simplificación adicional,

$\sum_{n=1}^{n=m} K_n Q_n^2 + 2\Delta Q \sum_{n=1}^{n=m} K_n Q_n=0$ Eq. (10)

A continuación, la corrección del caudal $\Delta Q$ se puede aislar fácilmente de la ecuación (10) como,

$\Delta Q =- \frac{\sum_{n=1}^{n=m} K_n Q_n^2 }{2\sum_{n=1}^{n=m} K_n Q_n}$        Eq. (11)

La ecuación (11) también se puede escribir en términos de $h_L$ para facilitar los cálculos,

$\Delta Q = - \frac{\sum_{n=1}^{n=m} h_L^{(n)}}{2\sum_{n=1}^{n=m} h_L^{(n)}/Q_n}$        Eq. (12)

Finalmente, la corrección $\Delta Q$ dada en la ecuación (12) debe aplicarse iterativamente a cada bucle para que, con cada iteración, $\Delta Q$ disminuya, asegurando que el balance $h_L$ se acerque a cero.

Hasta este momento, no se ha mencionado el balance de masa, pero esto forma parte de las debilidades del método.

¿Tienes alguna pregunta? Escríbela en los comentarios y trataré de ayudarte.

==========

Ildebrando.