Medición de la viscosidad con el viscosímetro Stokes de bola descendente

 Aquí se presenta la metodología para la medición de la viscosidad basada en el viscosímetro Stokes.

El viscosímetro Stokes, también llamado viscosímetro de bola descendente, se debe al británico George Gabriel Stokes. Esta tecnología se creó hace muchas décadas, ¡en 1851!

Se trata de una tecnología muy antigua basada en el equilibrio mecánico puro de las fuerzas que actúan sobre una bola esférica que cae a través de un fluido en un cilindro. Quizás no lo sepa, pero el viscosímetro Stokes sigue en el mercado hoy en día.

Fig. 01 Viscosímetro moderno de bola descendente. Observe que el tamaño del instrumento es demasiado grande.

También se puede imaginar una configuración geométrica diferente para realizar el equilibrio mecánico y así crear un viscosímetro diferente. Este es el caso del viscosímetro de cilindro descendente y el viscosímetro de bola rodante, entre otros.

¿Cómo funciona el viscosímetro de Stokes?

Como se mencionó anteriormente, este instrumento se basa en la mecánica de tres fuerzas diferentes que actúan sobre una esfera que cae a través de un fluido.

• Una, debida a la fricción, que actúa hacia arriba contra el movimiento de caída de la pelota, llamada fuerza de fricción;
• Una, debida a la gravedad, que actúa hacia abajo debido a la masa de la pelota, llamada fuerza gravitacional; y
• Otra, debida a la flotabilidad, que actúa hacia arriba debido a la menor densidad del fluido con respecto a la de la pelota, llamada fuerza de flotación.

Fig. 02 Equilibrio mecánico de fuerzas que actúan sobre una esfera que cae en un fluido.

En este momento no me ocupa la pequeña álgebra del equilibrio mecánico y quizás en un futuro próximo presente la demostración de esto, pero mientras tanto el lector debe aceptar que: de este equilibrio mecánico la viscosidad dinámica $\mu$ surge como,

$\mu = \dfrac{2}{9}\dfrac{r^2 g \left( \rho_s - \rho_f \right)}{v_\infty}$        Eq. (01)

donde:

$r$ is the radius of the sphere,

$\rho_s$ is the density of the sphere,

$\rho_f$ is the density of the fluid which viscosity we want to know,

$v_\infty$ is the terminal velocity, and

$g$ is the acceleration due to gravity.

Todos los parámetros del lado derecho de la ecuación (01) son conocidos o pueden determinarse fácilmente. Quizás el parámetro más difícil de estimar sea la velocidad terminal $v_\infty$.

Algunos comentarios sobre la velocidad terminal

En resumen, la velocidad terminal es la que se mide en el viscosímetro, por lo que se requieren mediciones cuidadosas. Por lo tanto, se incluyen algunas observaciones para beneficio de los experimentadores.

• La velocidad terminal solo se alcanza cuando no se observan más cambios en la magnitud de la velocidad. En otras palabras, la velocidad terminal $v_\infty$ es aquella que, cuando se alcanza un valor constante,
• Al comienzo del experimento, cuando la pelota comienza a caer, la velocidad no es constante y posiblemente se vuelva constante al final de su recorrido cerca del extremo del recipiente cilíndrico.
• En fluidos de baja viscosidad (como el agua), la velocidad terminal podría requerir una mayor distancia para alcanzarse en comparación con fluidos más viscosos (como la glicerina y los aceites). Esto significa que, en algunos casos, podrían necesitarse cilindros más largos.
• La estimación de la velocidad terminal requiere mediciones de tiempo en varios lugares a lo largo del cilindro para que $v_\infty$ pueda conocerse verdaderamente.
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Fig. 03 Este boceto muestra la velocidad terminal real que alcanza la bola cerca del final de su recorrido por el cilindro.

Errores experimentales en el viscosímetro Stokes

Las mediciones de viscosidad en el viscosímetro Stokes no son tan precisas como parecen en este antiguo instrumento.

Varios factores pueden afectar sus estimaciones. A continuación, se presentan algunos:

• La relación entre el diámetro de la bola y el cilindro puede ser importante. Si la bola y el cilindro tienen diámetros similares, las fuerzas debidas a la proximidad de las paredes del cilindro pueden influir, lo que podría hacer que las mediciones de viscosidad no sean correctas.
• El viscosímetro Stokes se recomienda para fluidos newtonianos o fluidos con un comportamiento no newtoniano débil. Para fluidos no newtonianos, ya se han desarrollado otras técnicas e instrumentos. 
• Algunos viscosímetros Stokes utilizan sensores ópticos para detectar la presencia de la esfera y registrar automáticamente el tiempo en diferentes puntos del cilindro. Estos sensores son más adecuados para fluidos transparentes (como el agua), por lo que incluso la glicerina puede causar fallos de funcionamiento. Es importante conocer las capacidades del instrumento. 
• Las propiedades de la esfera, como el volumen y la densidad, deben conocerse o determinarse cuidadosamente con anterioridad para reducir el error experimental en las mediciones de velocidad, si es posible. 
• Es importante recordar que se trata de un instrumento muy antiguo basado en un simple equilibrio mecánico de fuerzas, por lo que las mediciones de viscosidad $\mu$ pueden no coincidir con los valores publicados en internet.

¿Qué hacer si las mediciones de viscosidad del viscosímetro Stokes no son correctas?

Esta pregunta no es nueva y su respuesta ya se dio hace tiempo. Las mediciones de viscosidad $\mu$ del viscosímetro Stokes no son exactamente iguales a las reportadas en la literatura, incluso para los fluidos más simples, como el agua. ¿Por qué? Algunas razones se presentaron en la sección anterior.

Afortunadamente, esta desviación de los valores reales reportados es constante, por lo que todas las mediciones presentan el mismo error o algún tipo de error. Por lo tanto, se han desarrollado ecuaciones que corrigen la viscosidad medida. A continuación, se presentan un par de ellas.

Si sospecha que el error puede deberse a la relación entre el diámetro de la bola y el del cilindro, la siguiente ecuación puede ser útil.

$\mu_{real} = \mu_{meas}\left( 1-2.104\dfrac{r}{R}+2.09\dfrac{r^3}{R^3}-0.95\dfrac{r^5}{R^5} \right)$        Eq. (02)

Además, si sospecha que la velocidad terminal $v _\infty$ difícilmente se alcanza en la longitud del cilindro, también puede utilizar la siguiente ecuación,

$\mu_{real}=\dfrac{\mu_{meas}}{\left(1+2.4\dfrac{r}{R}\right)\left( 1+3.3\dfrac{r}{h} \right)}$        Eq. (03)

Donde $\mu_{real}$ es la medición de viscosidad corregida y $\mu_{meas}$ es el valor experimental obtenido con el viscosímetro Sotkes. Además, $R$, $r$ y $h$ representan el radio del cilindro, el radio de la bola y la altura de trabajo del cilindro.

¿Tienes alguna pregunta? Escríbela en los comentarios y trataré de ayudarte.

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Ildebrando.