Este problema ha sido adaptado del libro técnico Flujo de fluidos a través de válvulas, accesorios y tuberías. Crane Co.
Este problema merece atención, ya que a primera vista parece no tener solución. Podría pensarse que faltan datos. La clave está en la correcta comprensión matemática de las ecuaciones a resolver.
Caso de diámetro de tubería desconocido
Supongamos que se transportan 138 L/min a través de una tubería de acero comercial Sch. 40 con $\Delta P=P_1-P_2=85$ psi (como se muestra en el esquema a continuación). El fluido transportado es agua a 25 $^\circ$C con una presión atmosférica = 9,77 kN/m$^3$ y una viscosidad dinámica de 0,89 mPa·s. La tubería tiene un diámetro exterior de 2 pulgadas desde el punto 1 hasta el reductor de tamaño, y desde este punto hasta el 2 se desconoce el diámetro.
En este caso, utilice la ecuación de Colebrook para calcular el factor de fricción.
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| Fig. 01 Sketch of a pipe split by a reducer Solución Primero, se deben escribir todos los datos disponibles para obtener una visión general (aunque sea incompleta). De esta manera, podemos proceder a comprender lo que desconocemos.
Datos disponibles
Para la sección de tubería: punto 1 al reductor de tubería:
Para la sección de tubería: reductor de tubería hasta el punto 2
Para el fluido de trabajo:
Comprender el procedimiento a seguir para la estimación del diámetro desconocido de la tubería. Hay muchos datos, pero ¿Qué podemos hacer con ellos? Primero. El único conjunto de ecuaciones disponible es:
$\dfrac{P_1}{\gamma} + z_1 - h_L + \dfrac{v_1^2}{2g} = \dfrac{P_2}{\gamma} + z_2 + \dfrac{v_2^2}{2g}$ Eq. (01) Donde $P$, $z$ y $v$ indican la presión, la altura de la tubería y la velocidad del fluido en los puntos 1 y 2, respectivamente. $h_L$ es la pérdida de carga y $\gamma$ el peso específico. Siga este enlace para obtener una explicación física de esta ecuación.
$h_L=f_F\dfrac{L}{D}\dfrac{v^2}{2g}$ Eq. (02) donde $f_F$ representa el factor de fricción que causa una pérdida de carga $h_L$ en un fluido que viaja a una velocidad $V$ a través de una tubería de longitud $L$ y diámetro interno $D$.
$Q_1=Q_2$ Eq. (03) donde $Q$ representa el caudal volumétrico. Tenga en cuenta que la ecuación de Colebrook: $\dfrac{1}{\sqrt{f_F}}=-2\log_{10}\left( \dfrac{\epsilon}{3.7D} + \dfrac{2.51}{N_{Re}\sqrt{f_F}} \right)$ Eq. (04) También está disponible como herramienta para resolver el problema del diámetro interno desconocido, pero esta ecuación no aumenta ni disminuye el número de incógnitas. Segundo. El proceso es bastante simple. Se puede aislar el diámetro interno desconocido $D_{R-2}$ directamente del balance de energía, ecuación (02). Sin embargo, se podría decir que existe un obstáculo: el factor de fricción $f_{F,R-2}$ para la sección de tubería $R-2$ depende del diámetro interno $D_{R-2}$ de esta tubería. Esto es falso, ya que la ecuación de Colebrook (04) es una ecuación trascendental para $f_F$ que se sustituye en la ecuación (01), de modo que el factor de fricción es, de hecho, una incógnita espuria. Pasos a seguir Paso 1. Estime numéricamente el número de Reynolds $N_{Re,1-R}$ para la sección de tubería 1-R. Paso 2. Estime analíticamente el número de Reynolds $N_{Re,R-2}$ para la sección de tubería R-2 en función del diámetro interno de la tubería $D_{R-2}$. En este caso, debe asegurarse de que la única incógnita sea $D_{R-2}$. Paso 3. Estime numéricamente la pérdida de carga $h_{L,1-R}$ a partir de la ecuación de Darcy (02) para la sección de tubería 1-R. Paso 4. Estime analíticamente la pérdida de carga $h_{L,R-2}$ a partir de la ecuación de Darcy (02) para la sección de tubería R-2 en función del diámetro interno de la tubería $D_{R-2}$. En este caso, debe asegurarse de que la única incógnita sea $D_{R-2}$. Sin embargo, dado que la ecuación de Colebrook (04) es trascendental, el factor de fricción no puede aislarse, sino determinarse numéricamente. Esto significa que la ecuación de Colebrook correspondiente debe resolverse numéricamente simultáneamente con la ecuación general de energía para la sección de tubería $R-2$. No olvide incluir las pérdidas menores. Paso 5. Realice un balance mecánico general para toda la tubería, incluyendo las secciones $1-R$ y $R-2$. En otras palabras, utilice la ecuación de balance de energía (01). En resumen, obtendrá un sistema de dos ecuaciones que deberá resolver para el diámetro interno de la tubería $D_{R-2}$ y el factor de fricción $f_{F,R-2}$. Paso 6. Resuelva numéricamente. Puede usar un método de ensayo y error utilizando un diámetro interno estimado inicial similar al de la sección de tubería $1-R$. A continuación, resuelva la ecuación de Colebrook correspondiente para determinar $f_{F,R-2}$. A continuación, verifique la ecuación de energía correspondiente sustituyendo el valor estimado $D_{R-2}$ por el valor encontrado $f_{F,R-2}$. Si la ecuación de energía es igual a cero o tan cercana como desee, entonces ha resuelto (casi) el problema. De lo contrario, debe aumentar o disminuir el valor estimado del diámetro. Paso 7. Utilice el diámetro interno $D_{R-2}$ obtenido para determinar el diámetro nominal de la tubería con un diámetro interno lo más cercano posible a este. Paso 8. El diámetro calculado $D_{R-2}$ es una estimación teórica y el diámetro nominal $ND_{R-2}$ proporciona el diámetro real. Por lo tanto, el diámetro interno correspondiente a $ND_{R-2}$, tal como se indica en la tabla de propiedades de la tubería, es en realidad el diámetro interno real $D_{R-2}$ que buscaba. Estos nuevos datos también proporcionarán una velocidad del fluido diferente $v_{R-2}$, que debería ser la velocidad real. Cálculos para estimar el diámetro interno Paso 1. Determinemos el número de Reynolds para la sección de tubería 1-R como se indica a continuación. Primero, determinemos el área de la sección transversal interna de la tubería y la velocidad del fluido para esta sección. $A_{1-R}=\dfrac{\pi D_{1-R}^2}{4}=2.16 \times 10^{-3}$ m$^2$ $v_{1-R}=\dfrac{2.3 \times 10^{-3} \text{m$^3$/s}}{2.16 \times 10^{-3} \text{m}^2}$ $v_{1-R}=1.06$ m/sEntonces, $N_{Re,1-R}=\dfrac{v_{1-R}D_{1-R}}{\nu}$ $N_{Re,1-R}=\dfrac{\left(1.06 \text{m/s} \right) \left( 5.25 \times 10^{-2} m \right)}{ 8.93\times 10^{-7} \text{m$^2$/s}}$ $\Rightarrow N_{Re,1-R}=6.23 \times 10^{4}$Paso 2. El proceso para determinar $N_{Re,R-2}$ es bastante similar al del paso 1. Sin embargo, se requiere un poco de álgebra. Primero, el área de la sección transversal interna de la tubería correspondiente a la sección $R-2$ se puede escribir de la siguiente manera: $A_{R-2}=\dfrac{\pi D_{R-2}^2}{4}$ Eq. (05) y de la misma manera la velocidad del fluido para esta sección de la tubería se expresa como, $v_{R-2}=\dfrac{2.3 \times 10^{-3} \text{m$^3$/s}}{\dfrac{\pi D_{R-2}^2}{4}}$ $v_{R-2}=\dfrac{9.2 \times 10^{-3} }{\pi D_{R-2}^2}$ Eq. (06) donde se han eliminado las unidades para evitar confusiones. Tenga en cuenta que es preferible el manejo simbólico de ciertos parámetros para evitar futuros errores numéricos. Entonces, el número de Reynolds para esta sección de tubería es: $N_{Re,R-2}=\dfrac{9.2 \times 10^{-3} }{\pi D_{R-2}^2} \dfrac{ D_{R-2} }{ 8.93\times 10^{-7} \text{m$^2$/s}}$ $\Rightarrow N_{Re,R-2}=\dfrac{1.03 \times 10^{4} }{\pi D_{R-2}}$ Eq. (07) Paso 3. La pérdida de carga $h_{L,1-R}$ para la sección de tubería $1-R$ puede estimarse ahora a partir de la ecuación (02) como se indica a continuación. Sin embargo, primero debe calcularse el factor de fricción $f_{F,1-R}$. Luego, con la ecuación de Colebrook correspondiente, tenemos: $\dfrac{1}{\sqrt{f_{F,1-R}}}=-2\log_{10}\left( \dfrac{\epsilon}{3.7D_{1-R}} + \dfrac{2.51}{N_{Re,1-R}\sqrt{f_{F,1-R}}} \right)$ que después de sustituir todos los datos conocidos se convierte en, $\dfrac{1}{\sqrt{f_{F,1-R}}}=-2\log_{10}\left( 2.32 \times 10^{-4} + \dfrac{4.03 \times 10^{-5}}{\sqrt{f_{F,1-R}}} \right)$ Eq. (08) A continuación, la ecuación (08) debe resolverse numéricamente. Afortunadamente, ya contamos con un algoritmo sencillo y una hoja de cálculo para calcular $f_{F,1-R}$ rápidamente. Sigue este enlace a la publicación sobre cómo resolver la ecuación de Colebrook. Por lo tanto, $f_{F,1-R}=2.29\times 10^{-2}$ Entonces, $h_{L,1-R}=f_{F,1-R}\dfrac{L_{1-R}}{D_{1-R}}\dfrac{v_{1-R}^2}{2g}$ $h_{L,1-R}=2.29\times 10^{-2} \left(\dfrac{50\text{m}}{5.25 \times 10^{-2}\text{ m}}\right) \left[\dfrac{\left(1.06 \text{m/s} \right)^2}{2\left( 9.81 \text{ m/s}^2 \right)}\right]$ $\Rightarrow h_{L,1-R}=1.25$ m Paso 4. Nuevamente, este paso requiere poco álgebra. En este caso, no se puede calcular $F_{F,R-2}$, ya que se desconoce el diámetro interno $D_{R-2}$. Entonces, la ecuación de Colebrook, $\dfrac{1}{\sqrt{f_{F,R-2}}}=-2\log_{10}\left( \dfrac{\epsilon}{3.7D_{R-2}} + \dfrac{2.51}{N_{Re,R-2}\sqrt{f_{F,R-2}}} \right)$ Sólo se simplificará a, $\dfrac{1}{\sqrt{f_{F,R-2}}}=-2\log_{10}\left( \dfrac{1.21\times 10^{-5}}{D_{R-2}} + \dfrac{2.43 \times 10^{-4}\pi D_{R-2}} { \sqrt{f_{F,R-2}}} \right)$ Eq. (09) Una consecuencia directa de la ecuación (09) es que $h_{L,R-2}$ tampoco se puede calcular. Sin embargo, podríamos escribirla únicamente en términos de $D_{R-2}$. Esto es como sigue: $h_{L,R-2}=f_{F,R-2}\dfrac{L_{R-2}}{D_{R-2}}\dfrac{v_{R-2}^2}{2g} + 2\left(f_{F,R-2}\dfrac{L_{R-2}}{D_{R-2}}\right)_{Elb} \dfrac{v_{R-2}^2}{2g}$ Eq. (10) Donde se añadió el último término de la ecuación anterior para tener en cuenta las pérdidas debidas a los dos codos de radio corto en la sección de tubería $R-2$. El subíndice $Elb$ indica el coeficiente de resistencia $K$ para estos accesorios: $K=30f_{F,R-2,T}$ Eq. (11) $f_{F,R-2,T}$ representa el factor de fricción completamente turbulento en la sección de tubería $R-2$ (véase Flujo de fluidos a través de válvulas, accesorios y tuberías. Crane Co). Esto se puede determinar fácilmente a partir de la ecuación de Colebrook, tomando el límite de $N_{Re,R-2}\rightarrow \infty$. Esto es, $\dfrac{1}{\sqrt{f_{F,R-2,T}}}=-2\log_{10}\left( \dfrac{\epsilon}{3.7D_{R-2}} \right)$ $\Rightarrow f_{F,R-2,T}=\dfrac{0.25}{\left[\log_{10}\left(\epsilon/D_{R-2}\right)\right]^2}$ Eq. (12) De esta manera, la ecuación (10) aún se puede simplificar, $h_{L,R-2}=f_{F,R-2}\dfrac{70 \text{m}}{D_{R-2}} \left(\dfrac{9.2 \times 10^{-3} }{\pi D_{R-2}^2} \right)^2\dfrac{1}{2\left( 9.81 \text{ m/s}^2 \right)}$ $+ 2\dfrac{7.5}{\left[\log_{10}\left(\epsilon/D_{R-2}\right)\right]^2}\left(\dfrac{9.2 \times 10^{-3} }{\pi D_{R-2}^2} \right)^2\dfrac{1}{2\left( 9.81 \text{ m/s}^2 \right)}$ donde se utilizó la ecuación (06). Una simplificación aritmética adicional de la ecuación anterior da, $h_{L,R-2}=f_{F,R-2}\dfrac{3.02 \times 10^{-4}}{\pi^2 D_{R-2}^5} + \dfrac{6.45 \times 10^{-5}}{\left[\log_{10}\left(\epsilon/D_{R-2}\right)\right]^2}$ Eq. (13) Por lo tanto, las ecuaciones (09,13) deben resolverse simultáneamente para $D_{R-2}$. Si se examinan con atención las ecuaciones (09,13), se observará que la única incógnita es $D_{R-2}$, ya que $f_{F,R-2}$ puede determinarse a partir de la ecuación (09) una vez que se proporciona $D_{R-2}$. Paso 5. La ecuación de balance de energía para toda la tubería se puede escribir como, $\dfrac{P_1}{\gamma} + z_1 - h_{L,1-R} - h_{L,R-2} + \dfrac{v_{1-R}^2}{2g} = \dfrac{P_2}{\gamma} + z_2 + \dfrac{v_{R-2}^2}{2g}$ Eq. (14) Dado que ya calculamos las pérdidas de carga $h_{L,1-R}$ y $h_{L,R-2}$ en los pasos anteriores, sería útil aislar estos parámetros de la ecuación (14). Entonces, $h_{L,1-R} + h_{L,R-2} = \dfrac{P_1-P_2}{\gamma} - \left(z_2 - z_1\right) + \dfrac{v_{1-R}^2}{2g} - \dfrac{v_{R-2}^2}{2g}$ Eq. (15) Aquí, se considerará $z_1=0$ m y $z_2=20$ m. A continuación, con los parámetros conocidos, la ecuación (15) se puede simplificar a: $h_{L,1-R} + h_{L,R-2} = 40.04 - \dfrac{4.31 \times 10^{-6} }{\pi^2 D_{R-2}^4} $ Eq. (16) El balance mecánico de la ecuación de energía dada en la ecuación (16) debería ser igual al enfoque general de la ecuación de Darcy. Luego, tras sustituir $h_{L,1-R}$ y la ecuación (13) en la ecuación (16), obtenemos: $1.25 + f_{F,R-2}\dfrac{3.02 \times 10^{-4}}{\pi^2 D_{R-2}^5} + \dfrac{6.45 \times 10^{-5}}{\left[\log_{10}\left(\epsilon/D_{R-2}\right)\right]^2} = 40.04 - \dfrac{4.31 \times 10^{-6} }{\pi^2 D_{R-2}^4}$ Lo que reduce a, $f_{F,R-2}\dfrac{3.02 \times 10^{-4}}{\pi^2 D_{R-2}^5} + \dfrac{6.45 \times 10^{-5}}{\left[\log_{10}\left(\epsilon/D_{R-2}\right)\right]^2} = 38.79 - \dfrac{4.31 \times 10^{-6} }{\pi^2 D_{R-2}^4}$ Eq. (17) Las ecuaciones (09,17) deben resolverse numéricamente para determinar el diámetro interno $D_{R-2}$. Paso 6. Se utilizó la solución por ensayo y error. La tabla a continuación resume los cálculos de la siguiente manera:
Breve explicación de los cálculos iterativos El cálculo comienza con el diámetro interno $D_{R-2}$ estimado. Sin embargo, la solución se puede encontrar de dos maneras: aumentando el diámetro o disminuyéndolo gradualmente. De las filas 1 a 2, el diámetro se incrementó en 0,05. En este caso, el error también aumentó, como se muestra en la última columna. Esto significa que el diámetro desconocido no es mayor que el de la sección de tubería $1-R$. Luego, el diámetro estimado se redujo en un paso constante de 0,05 de la fila 3 a la 8. Como se puede ver en la última columna, el porcentaje de error disminuyó con cada paso, por lo que el diámetro desconocido debería ser menor que el de la sección de tubería $1-R$. El proceso debe seguirse hasta que el porcentaje de error
sea tan bajo como se desee o necesite. En esta situación, el porcentaje de
error aumenta repentinamente en la fila 8. Esto significa que el error volvería
a aumentar y que la mejor solución posible es la de la fila 7. Esto
es, $D_{R-2} = 2.75 \times 10^{-2}$ m El comportamiento visto en la tabla anterior no es lo que
desearía, pero parece ser natural desde la ecuación. (17) es trascendental. Paso 7. $ D_ {R-2} = 2.75 \ Times 10^{-2} $ M $
= 27.5 $ mm es el diámetro interno de la tubería de la sección de tubería $ R-2
$ según los datos de la tubería para la sección $ 1-R $, datos de fluidos y
gradiente de presión en todo el sistema. Sin embargo, este es, de hecho, el
diámetro interno teórico. Entonces, ¿Cuál es el verdadero diámetro interno de la
tubería? El diámetro interno real está relacionado con una tubería
real que se fabrica y está disponible como estándar. Luego debemos buscar hojas
de datos de tuberías para SCH.- 40 tubos de acero comercial (ver flujo de
fluidos a través de válvulas, accesorios y tubería. Crane Co, por ejemplo). Se encuentra que la tubería con $ nd_ {R-2} = 1 $ pulgada y
diámetro interno $ D_ {R-2} = 26.6 $ mm $ 2.66 \ Times 10^{-2} $ M es el más
cercano según las características geométricas. Por lo tanto, en la práctica, lo
que usaría es un $ nd_ {r-2} = 1 $ pulgada sch. - 40 tubos de acero comercial. Paso 8. Si nos vemos obligados a usar solo las
tuberías disponibles en el mercado, la velocidad del fluido debería ser
diferente a la teórica. El caudal $Q$ debería permanecer igual, pero este no
debería ser el caso de $v_{R-2}$. En otras palabras, $v_{R-2}=\dfrac{9.2 \times 10^{-3} }{\pi D_{R-2}^2}$ Es necesario volver a calcular otros parámetros como
$h_{L,R-2}$ y $f_{F,R-2}$ para obtener una visión real de la solución. Con esto termina el problema. ¿Tienes alguna pregunta? Escríbela en los comentarios y trataré de ayudarte. ========== Ildebrando. |
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