Este problema está adaptado del libro Chemical Engineering Fluid Mechanics, 2da edición, de Ronald Darby.
Una solución polimérica, que es un fluido de ley de potencia bien representado, tiene las siguientes propiedades:
- Índice de flujo de 0,6.
- viscosidad aparente de $420 \;cP$ a una velocidad de corte de $1\; s^{-1}$,
- densidad de $75 \;lb_m/ft^3$.
Este fluido se transportará a través de una tubería de acero comercial de $1\; in$ de diámetro nominal a un caudal de $4 \;gpm$. . Calcule lo siguiente:
- el gradiente de presión en $psi/ft$,
- la velocidad de corte, evaluada, en la pared de la tubería y la viscosidad aparente del fluido a esta velocidad de corte,
- el gradiente de presión si el fluido fuera newtoniano con una viscosidad igual a la viscosidad aparente de (2) arriba,
- el número de Reynolds para la solución polimérica y para el fluido newtoniano mencionado anteriormente.
Consejos:
- Para este problema se debe considerar un régimen de flujo laminar.
- Intentar un enfoque analítico para resolver el problema.
- Estos resultados se pueden determinar numéricamente (no algebraicamente). No faltan datos.
La solución
No está especificado, pero para diámetros de tubería pequeños y caudales bajos, se puede considerar el régimen de flujo laminar, aunque debe demostrarse con más detalle en la pregunta (4). En ese caso, el caudal se puede expresar como:
$Q=\frac{\pi R^3}{1/n+3}\left( \frac{\Delta P \; R}{2mL} \right)^{1/n}$ Eq. (1)
Por otra parte, la tensión cortante evaluada en la pared de la tubería $r=R$ viene dada por:
$\tau_w=\frac{\Delta P \; R}{2L}$ Eq. (2)
En las ecuaciones anteriores, $R$ es el diámetro interno de la tubería y $L$ su longitud total. Tenga en cuenta que $R$ no es el diámetro nominal. En este caso, $R$=0,957 pulg., por ejemplo, para cédula 80.
Pregunta 1
El gradiente de presión puede aislarse inicialmente de la ecuación (1) como,
$\frac{\Delta P}{L}=\frac{2m}{R} \left[ \frac{Q\left( 1/n+3 \right)}{\pi R^3} \right]^n$ Eq. (3)
De la ecuación (3), se conocen todos los parámetros excepto $m$. El llamado parámetro de consistencia de la ley de potencia se puede determinar a partir de la ecuación constitutiva reducida:
$\tau_{rz}=m\; \dot{\gamma}_{rz}^n$ Eq. (4)
Para el flujo de un fluido a través de una tubería circular con coordenadas radiales y axiales $r$ y $z$, $\dot{\gamma}_{rz}$ es, como ya sabrá, la velocidad de corte.
Por otro lado, la viscosidad aparente $\eta$ está relacionada con $\dot{\gamma}_{rz}$ de la siguiente manera:
$\eta=\dfrac{\tau_{rz}}{\dot{\gamma}_{rz}}$ Eq. (5)
Nota: $\dot{\gamma}_{rz}$ es de hecho una variable ya que cambia con la deformación del fluido a menos que se evalúe en una posición determinada (radio).
De esta manera, $m$ dado en la ecuación (4) puede aislarse y escribirse en términos de $\eta$ de la siguiente manera:
$\eta\; \dot{\gamma}_{rz}=m\; \dot{\gamma}_{rz}^n$
$\Rightarrow \;\; m=\dfrac{\eta}{\dot{\gamma}_{rz}^{n-1}}$ Eq. (6)
De esta manera, $\Delta P/L$, dada en la ecuación (3), se puede expresar como:
$\frac{\Delta P}{L}=\frac{2\eta}{R\; \dot{\gamma}_{rz}^{n-1}} \left[ \frac{Q\left( 1/n+3 \right)}{\pi R^3} \right]^n$ Eq. (7)
A partir de la ecuación (7), se puede calcular fácilmente el Delta P/L, ya que se conocen todos los datos. Esto es:
$\frac{\Delta P}{L}=\frac{2\cdot 420 \cdot 0.001 }{0.957\cdot 0.0254\cdot 1^{-0.4}}\left( \frac{4\cdot 6.309e-5 \cdot 4.66}{\pi \left( 0.957\cdot 0.0254 \right)^3} \right)^{0.6}$ (in SI)
$\frac{\Delta P}{L}=34.55 \cdot \left( \dfrac{11.74}{\pi 1.43e-5} \right)^{0.6}$
$\frac{\Delta P}{L}=61,513.35\; Pa/m$
$\frac{\Delta P}{L}=2.71\; psi/ft$
Pregunta 2
La velocidad de corte en la pared se puede determinar fácilmente a partir de la ecuación (4), que se evalúa en $r=R$. Esto daría,
$\dot{\gamma}_{rz}\; \rvert_{r=R} = \left( \dfrac{\tau_{rz}}{m}\; \rvert_{r=R} \right)^{1/n}$
$\dot{\gamma}_{rz}\; \rvert_{r=R} = \left( \dfrac{\tau_{w}}{m} \right)^{1/n}$ Eq. (8)
que también puede escribirse en términos del gradiente de presión como:
$\dot{\gamma}_{rz}\; \rvert_{r=R} = \left( \dfrac{\Delta P\; R}{2mL} \right)^{1/n}$ Eq. (9)
Recuerde que $m$ tiene unidades de $lb_f\cdot s^n$, por lo que no debería haber ningún problema con las unidades al evaluar la ecuación (9).
Sin embargo, no se han calculado ni $\tau_w$ ni el índice de consistencia de flujo de la ley de potencia $m$. $\tau_w$ se obtiene a partir de la ecuación (2):
$\tau_w=0.1080\; psi$
A continuación, sabiendo que $420\; cP=8.77e-3\; lb_f\; s/ft^2$, $m$ se puede estimar fácilmente a partir de la ecuación (6) como,
$m = 6.09e-5 \; psi/s^{0.6}$
Nota: $m$ no cambia con la posición u otra variable. $m$ es de hecho un parámetro de ajuste.
Así, de la ecuación (9) se deduce:
$\dot{\gamma}_{rz}=259,822.90\; s^{-1}$
La nueva viscosidad aparente correspondiente $\eta$ se obtiene a partir de la ecuación (6):
$\eta=4.15e-7\; psi\; s$
$\eta=2.86\; cP$
Pregunta 3
Si el fluido fuera newtoniano, entonces $n=1$ y $\eta=m=\mu$, como se sugiere en la ecuación (6). Además, la ecuación (7) debería reducirse a:
$\frac{\Delta P}{L}= \frac{8\mu Q}{\pi R^4}$ Eq. (10)
a partir del cual se encuentra fácilmente el gradiente de presión.
Pregunta 4
Los números de Reynolds para ambos fluidos se derivan de las fórmulas conocidas:
$N_{Re}=\dfrac{\rho V D}{\mu}$
$N_{Re}=\dfrac{8D^nV^{2-n}}{m\left[ 2\left(3n+1\right)/n \right]^n}$
Donde la velocidad del fluido $V$ debe expresarse en términos del caudal $Q$. Los resultados son entonces directos.
¿Tienes alguna pregunta? Escríbela en los comentarios y trataré de ayudarte.
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Ildebrando.
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