Aquí se analiza una red simple de dos bucles para mostrar cómo utilizar el método Hardy-Cross. En este ejemplo, se calculan los caudales, la pérdida de carga y la presión en los nodos mediante una hoja de cálculo.
Para más información sobre este método, consulte las publicaciones: Demostración del método Hardy-Cross e Implementación del método Hardy-Cross.
CONTENIDO
- 1 Un ejemplo de red simple
- 1.1 El procedimiento de solución
- Paso 1: Determinación de las direcciones de flujo
- Paso 2: El balance de masa
- Paso 3: El balance de pérdida de carga
- Paso 4: Estimaciones del caudal
- Paso 5: Solución numérica de las ecuaciones de equilibrio de cabeza
- Paso 6: Presión en los nodos
1 Un ejemplo de red simple
Consideremos la siguiente red de dos bucles (véase la figura siguiente). Para la demostración, se considerará agua como fluido de trabajo. Además, se consideran las elevaciones en cada nodo para ilustrar el uso del método de Hardy-Cross.
Se conocen los siguientes datos,
Las preguntas sobre esta red se relacionan con:
- caudales en cada sección de tubería,
- pérdidas de carga en cada sección de tubería,
- presión en cada nodo y
- carga hidráulica $HGL$ en cada nodo.
1.1 El procedimiento de solución
Con base en la información proporcionada, parece claro que lo primero que debemos hacer es establecer las direcciones de flujo en cada tubería.
Paso 1: Determinación de las direcciones de flujo
Las primeras direcciones obvias encontradas son las de las tuberías [1] y [3], que van del nodo A al B y del nodo A al D, respectivamente. Dado que hay salidas en todos los nodos excepto en el A, resulta un poco difícil encontrar ideas.
Al observar el diámetro exterior de las tuberías [6] (5 pulg.) y [4] (4 pulg.), parece razonable pensar que parte del fluido que pasa por [3] se descargaría en D y continuaría por la tubería [6]. Esto es: en [6], el fluido viaja de D a E.
Además, la tubería [1], con un diámetro exterior de 10 pulg., transporta más fluido que la [3], con un diámetro exterior de 8 pulg., por lo que otra idea razonable podría ser que en la tubería [4] el fluido viaja de B a E.
Las direcciones de flujo a través de las tuberías [2] y [7] se determinan mediante el sentido común. El fluido debe circular de B a C y de E a F; de lo contrario, no saldrá fluido de la red ni por C ni por F.
Fig. 04 Direcciones de flujo basadas en el sentido común.
La dirección del flujo a través de la tubería [5] se puede determinar considerando el ND de [2] y [7]. Siendo [2] el que tiene el ND más grande, podemos asumir que el fluido viaja de C a F.
En la Fig. 05, ya se ha introducido la dirección en la que se realizará el balance de pérdidas de carga. Observe que, para los bucles, el balance de pérdidas de carga se realiza en el mismo sentido: en sentido horario.
Paso 2: El balance de masa
Al observar la red de tuberías de la Fig. 05, se observa claramente que el balance de masa se compone de siete ecuaciones: una para el balance global y seis para cada nodo. Estas ecuaciones se pueden escribir fácilmente como:
$\Sigma Q_{inlet}=\Sigma Q_{outlet}$ Eq. (01)
lo cual se cumple si se consideran los datos de la Tabla 01. En los nodos A, B, C, D, E y F las ecuaciones son,
$0.22=Q_1+Q_3$ Eq. (02)
$Q_1=0.06+Q_4$ Eq. (03)
$Q_2=0.04+Q_5$ Eq. (04)
$Q_3=0.04+Q_6$ Eq. (05)
$Q_4+Q_6=0.05+Q_7$ Eq. (06)
$Q_7+Q_5=0.03$ Eq. (07)
Debe tener en cuenta que hay 7 incógnitas y solo 6 ecuaciones, por lo que los caudales no se pueden determinar a partir del balance de masa.
Paso 3: El balance de pérdida de carga
El balance de pérdidas de carga también puede expresarse utilizando las instrucciones de la Fig. 05 y la ecuación de Darcy para cada sección de tubería limitada por dos nodos. De esta manera, para el bucle n.° 1, la ecuación de balance de pérdidas de carga es:
$h_L^{(1)}+h_L^{(4)}-h_L^{(6)}-h_L^{(3)}=0$ Eq. (08)
mientras que el bucle for n.º 2 es,
$h_L^{(2)}+h_L^{(5)}-h_L^{(7)}-h_L^{(4)}=0$ Eq. (09)
Profundicemos un poco más en las ecuaciones (08-09) utilizando la definición de la ecuación de Darcy. Esto es,
$f_{F1}\dfrac{L_1}{D_1}\dfrac{V_1^2}{2g} + f_{F4}\dfrac{L_4}{D_4}\dfrac{V_4^2}{2g} - f_{F6}\dfrac{L_6}{D_6}\dfrac{V_6^2}{2g} - f_{F3}\dfrac{L_3}{D_3}\dfrac{V_3^2}{2g}=0$ Eq. (10)
y
$f_{F2}\dfrac{L_2}{D_2}\dfrac{V_2^2}{2g} + f_{F5}\dfrac{L_5}{D_5}\dfrac{V_5^2}{2g} - f_{F7}\dfrac{L_7}{D_7}\dfrac{V_7^2}{2g} - f_{F4}\dfrac{L_4}{D_4}\dfrac{V_4^2}{2g}=0$ Eq. (11)
Como se puede observar, se desconocen todos los factores de fricción y caudales, y en consecuencia, también se desconocen las velocidades lineales. Las ecuaciones (10-11) ya incorporan la aproximación de Hardy-Cross, que se utilizará para determinar los caudales. Para ello, las ecuaciones (10-11) deben expresarse en términos de $Q$ en lugar de $V$. Esto es:
$f_{F1}\dfrac{L_1}{D_1}\dfrac{Q_1^2}{2gA_1^2} + f_{F4}\dfrac{L_4}{D_4}\dfrac{Q_4^2}{2gA_4^2} - f_{F6}\dfrac{L_6}{D_6}\dfrac{Q_6^2}{2gA_6^2} - f_{F3}\dfrac{L_3}{D_3}\dfrac{Q_3^2}{2gA_3^2}=0$ Eq. (12)
y
$f_{F2}\dfrac{L_2}{D_2}\dfrac{Q_2^2}{2gA_2^2} + f_{F5}\dfrac{L_5}{D_5}\dfrac{Q_5^2}{2gA_5^2} - f_{F7}\dfrac{L_7}{D_7}\dfrac{Q_7^2}{2gA_7^2} - f_{F4}\dfrac{L_4}{D_4}\dfrac{Q_4^2}{2gA_4^2}=0$ Eq. (13
Las ecuaciones (12-13) utilizan el factor de fricción de Darcy $f_F$ (no confundir con el factor de fricción de Fanning).
Para más detalles sobre los factores de fricción, lea la publicación: Ecuaciones hidráulicas para fluidos no newtonianos.
Este video también puede ayudarle con el tema de los factores de fricción.
Paso 4: Estimaciones del caudal
La solución numérica de las ecuaciones (12-13) requiere estimaciones iniciales para todos los caudales. ¿Cuál sería un buen conjunto de estimaciones de caudal? Existen algunas ideas generales al respecto.
- Estas estimaciones deberían satisfacer las ecuaciones de balance de masa.
- Dado que no se conoce el caudal en cada sección de tubería, se puede realizar una estimación inicial basándose en el tamaño de la tubería.
- Una vez establecidas algunas estimaciones de caudal, se pueden utilizar las ecuaciones de balance de masa para estimar los demás caudales.
- Repetir el procedimiento si es necesario.
Tabla 04 Tabla de resultados con estimaciones iniciales del caudal nominal. Observe que estos valores cumplen las ecuaciones de balance de masa.
Paso 5: Solución numérica de las ecuaciones de equilibrio de cabeza
Ahora, las ecuaciones (12-13) se resolverán numéricamente. Para ello, se implementará un enfoque iterativo en una hoja de cálculo.
Para más detalles sobre la preparación de la hoja de cálculo, lea la publicación: Implementación del método Hardy-Cross.
Continuemos con la iteración n.° 1 para el bucle n.° 1. Realizaremos algunos cálculos para estimar la pérdida de carga h_L en cada sección de tubería de este bucle. La tabla con todos los cálculos se ve así:
De la Tabla 05 se ha obtenido una corrección de los caudales (1, 4, 6, 3) en la forma $ \Delta Q=1.42\times 10^{-2}$. Ahora, la Tabla 04 puede actualizarse de la siguiente manera:
Para los cálculos del bucle n.° 2 en la iteración n.° 1, el procedimiento es prácticamente el mismo. Lo único que debe tener en cuenta es que se deben usar los caudales corregidos (si los hay). Una vez obtenida la corrección $\Delta Q$ para este bucle, se deben corregir los caudales involucrados (incluidos los ya corregidos). Aquí está la tabla completa de la iteración n.° 1.
A continuación, necesitamos usar la corrección $\Delta Q$ para los caudales en las tuberías (2, 5, 7, 4). El caudal $Q_4$ debe corregirse de nuevo. Los resultados de la Tabla 06 se han actualizado a:
Para la Iteración n.° 2 se sigue el mismo proceso que el anterior. En este caso, se utilizan los resultados de la Iteración n.° 1 como punto de partida. Los resultados de estos cálculos son los siguientes:
Tabla 09 Cálculos para la iteración n.° 2, incluidos los dos bucles. Observe que, nuevamente, se obtienen más correcciones de ΔQ.
La Tabla 08 de resultados también se actualiza como,
Tabla 10 Resultados del caudal de la iteración n.º 2.
Se omiten los cálculos para las iteraciones n.° 3 y n.° 4, pero a continuación se presenta la tabla con los caudales finales.
Tabla 11 Resultados de los caudales para cuatro iteraciones. En la iteración n.° 4, se obtuvo una suma de pérdidas de carga promedio de aproximadamente 0,33.
La suma de las pérdidas de carga por bucle indica la calidad del balance. Cuanto más cercana a cero sea la estimación, mejor será. Un promedio de $\Sigma h_L<0.01$ puede ser un buen indicador de precisión.
Al observar el cambio de la iteración n.° 3 a la n.° 4 para la tubería [1] en la Tabla 11, se puede observar que la diferencia es de aproximadamente 0,2 L/s. Sin embargo, el lector puede continuar con el proceso de iteración hasta obtener una mayor precisión.
También puede consultar las ecuaciones de balance de masa (02-07) con los resultados de la iteración n.° 4 que se muestran en la Tabla 11. Observe que el balance de masa solo se utilizó inicialmente para obtener los caudales estimados. Se puede esperar una desviación muy pequeña del balance de masa.
Paso 6: Presión en los nodos
Una vez obtenidos los caudales con una precisión razonable, se pueden estimar las presiones y cargas hidráulicas en cada nodo. El procedimiento para calcular estos parámetros se basa en la ecuación:
$HGL=\dfrac{p}{\gamma}+z$ Eq. (14)
Solo necesita tomar los $h_L$ ya calculados en la Iteración n.° 4 (o los que haya calculado posteriormente). Debe prestar atención a los signos y la dirección del flujo. Los resultados se muestran a continuación.
Aquí termina la publicación. Espero que te sea útil.
¿Tienes alguna pregunta? Escríbela en los comentarios y trataré de ayudarte.
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Ildebrando
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